一元配置の分散分析について

実験を行うとき、2つの条件群しか設定しないということは、それほど多くありません。

例えば、新しい降圧薬の効果を調べる場合には、新しい降圧薬を飲む条件と薬を飲まない条件、それからプラセボ条件の3つの条件を設けることもあります。

ここで出てくるのが、3つ以上の条件群の平均値を比較する分散分析になります。

このような3つ以上の条件群の平均値を比較する際に使われるのが分散分析です。

この記事では、1要因の分散分析について詳しく見ていきます。

なお、2要因の分散分析については、この次の記事でお話します。

分散分析の簡単な説明

まず分散分析イメージを簡単に説明してから、具体例を一緒に考えていきましょう。

　分散分析について抑えておくべき内容

では早速、見ていきましょう。

分散分析の概要

分散分析を一言でいうと、「3つ以上の条件群の平均値を比較する際に用いられる分析」のことです。

「分散」分析という名前ですが、分散だけで分析するのではなく、平均値も使います。

分散分析のイメージとしては、以下の図を考えると分かりやすいです。

「左の条件と、真ん中の条件の平均値の差」（群間変動）と「真ん中の条件の中での得点のばらつきの差」（群内変動）があります。

群間変動は、「条件群の違い、すなわち独立変数の影響の結果生まれる差」です。

一方で群内変動は、偶然の得点のばらつきで生じる差です。

図の場合、群間変動よりも群間内変動のほうが大きいことが見て取れます。

よって、独立変数は効果を持っていないと判断することができます。

これが分散分析でしている条件群による違いと偶然の誤差による違いのイメージです。

分散分析の用語の確認

分散分析は1要因3水準の分散分析とか2要因の分散分析と呼ばれるものがあります。

この要因は独立変数のことで、水準とは独立変数の中にある条件の数です。

最初に例示した新しい降圧薬の効果を調べる場合、要因は薬の条件となり、3水準は新しい降圧薬、薬なし、プラセボということになります。

なお、「〇元配置の分散分析」と呼ばれることもありますが、この「〇元配置」というのは「〇要因」と同じ意味です。

分散分析で使うF分布とは？

t検定では、t分布のどこにt値があるのかということから統計結果が有意であるのかを判断しました。

分散分析ではF分布というものを用いて、分散分析の結果が有意であるのかを判断します。

F分布は以下のような形をしています。

ご覧の通り、t分布とは異なり左右対称ではありません。

また、$x$ 軸のスタートが0になっています。

そのため、対立仮説は「全ての水準のうち、母平均が異なる水準が少なくとも1つある」という片側検定となります。

分散分析の前提条件

分散分析の前提条件はt検定と同じです。

①間隔・比率尺度である量的データであること

②正規分布に従うこと

数値データであれば、多くの場合で分散分析は使えます。

t検定を繰り返すことと分散分析は異なる【多重性の問題とは】

t検定を繰り返せば分散分析と同じことができると思われる人もいるかもしれません。

しかし、両者には違いがあります。

5%水準でそれぞれ分析をしたとしましょう。

分散分析の場合は1回しか分析しないので、そのまま1-0.05=0.95となります。

そのため、本来有意差が出ないデータでも有意差があると判断してしまう確率、すなわち第一種の過誤を犯す確率は1-0.95=5%です。

しかしt検定を3回繰り返す場合、（１－0.05）×（1－0.05）×（１－0.05）≒0.86となります。

そのため、第一種の過誤を犯す確率は1-0.86=14%と、実に3倍近く増えます。

このように、第一種の過誤を犯す確率が高くなるので、t検定を繰り返してはいけないのです。

対応のない分散分析【ストレスレベル高中低、どれが一番パフォーマンスが良いか】

対応のない分散分析について、ストレスレベル高条件・中条件・低条件でのパフォーマンスを比較することによって説明していきます。

なお、対応のない分散分析は、被験者間デザインで取ったデータの分散分析ということもできます。

英語のbetweenをイメージすると分かりやすいと思います。

以下は、ストレスレベル高条件・中条件・低条件における各実験参加者の課題成績です。

分散分析で独立変数の影響の有無を調べる

t検定のt値と異なり、分散分析で使うF値には数式のようなものはありません。

以下の手順に従って求めていくことになります。

まず分散分析を行うにあたり、以下の数値を求める必要があります。

平方和という言葉に聞き覚えがないかもしれません。

れぞれのデータから平均値を引いて2乗したものが偏差ですが、それを全て足したものが平方和です。

つまり、平均値からの各データのばらつきと言えます。

分散分析表とつながるA～Cを埋めていきましょう。

A（全体の平方和）です。

まず各データから全体の平均値を引いたものを2乗していきましょう。

そして、それらを全て足します。

$$(69-61.60)^{2}+(51-61.60)^{2}+\cdots(66-61.60)^{2}+(69-61.60)^{2}=919.60$$

となります。

次にB(誤差の平方和)を求めます。

誤差の平方和は、各条件内でのデータと平均値のズレ合わせたものなので、全ての群の群内変動を合わせたものということになります。

$$205.20+2.80+264.00=472.00$$

となります。

そしてC（要因の平方和）を求めていきます。

要因の平方和は、まず各条件の平均値と全体での平均値のズレを2乗して、それらにデータ数を掛け合わせたものを合計することにより求めることができます。

これは、条件によるズレ（群間変動）ということです。

実際に要因の平方和を求めていきましょう。

$$(56.60-61.60)^{2} \times 5+(69.20-61.60)^{2} \times 5+(59.00-61.60)^{2} \times 5=447.60$$　となります。

ここまで計算できたら、あとは以下の分散分析表を埋めていくだけです。

今回は以上となります。